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Généralités

Suite logistique

Cet applet rem­plit plu­sieurs objec­tifs péda­go­giques : illus­trer la notion de suite du type u_{n+1} = f(u_n), illus­trer la notion de cycle limite, l’apparition de « chaos », etc.

Voici l’applet (lien pour le télé­char­ge­ment de l’applet).


La suite étudiée suit la rela­tion de récur­rence u_{n+1} = ru_n(1-u_n). C’est la suite logis­tique.

Dif­fé­rents para­mètre peuvent varier :

  • le para­mètre r modi­fie la forme de la courbe. À gar­der fixe tout d’abord.
  • le para­mètre u_1 per­met de faire varier le pre­mier terme de la suite. Cela per­met d’illustrer la notion de point fixe attrac­tif et de son bas­sin d’attraction.
  • le para­mètre n per­met de pré­ci­ser le der­nier point de la suite à affi­cher. Quand n aug­mente, on « voit » la suite conver­ger… ou pas !
  • En effet, lorsque r varie  et s’approche de 3, on peut voir la conver­gence de plus en plus lente de la suite.
  • Dès que r passe la valeur 3, la suite ne converge plus. Elle semble plu­tôt « oscil­ler » entre deux valeurs limites.
  • Entre 3,45 et 3,54, on peut obser­ver 4 valeurs limites.
  • Plus r aug­mente, plus le com­por­te­ment de la suite est com­plexe. Au delà de r=4, la suite a un com­por­te­ment « chaotique ».