Suite logistique

Cet applet rem­plit plu­sieurs objec­tifs péda­go­giques : illus­trer la notion de suite du type $u_{n+1} = f(u_n)$, illus­trer la notion de cycle limite, l’apparition de « chaos », etc.

Voici l’applet (lien pour le télé­char­ge­ment de l’applet).

La suite étudiée suit la rela­tion de récur­rence $u_{n+1} = ru_n(1-u_n)$. C’est la suite logis­tique.

Dif­fé­rents para­mètre peuvent varier :

• le para­mètre $r$ modi­fie la forme de la courbe. À gar­der fixe tout d’abord.
• le para­mètre $u_1$ per­met de faire varier le pre­mier terme de la suite. Cela per­met d’illustrer la notion de point fixe attrac­tif et de son bas­sin d’attraction.
• le para­mètre $n$ per­met de pré­ci­ser le der­nier point de la suite à affi­cher. Quand $n$ aug­mente, on « voit » la suite conver­ger… ou pas !
• En effet, lorsque $r$ varie  et s’approche de 3, on peut voir la conver­gence de plus en plus lente de la suite.
• Dès que $r$ passe la valeur 3, la suite ne converge plus. Elle semble plu­tôt « oscil­ler » entre deux valeurs limites.
• Entre 3,45 et 3,54, on peut obser­ver 4 valeurs limites.
• Plus $r$ aug­mente, plus le com­por­te­ment de la suite est com­plexe. Au delà de $r=4$, la suite a un com­por­te­ment « chaotique ».